Математическо махало: период, ускорение и формули

Механична система, която се състои отматериалната точка (тяло), висяща на неразтегляема безтеглова резба (масата му е пренебрежимо малка в сравнение с телесното тегло) в еднообразно гравитационно поле, се нарича математическо махало (друго име е осцилатор). Има и други типове на това устройство. Вместо нишка може да се използва безтеглов пръчка. Математическото махало може визуално да разкрие същността на много интересни феномени. С малка амплитуда на вибрации, движението му се нарича хармонично.

Обща информация за механичната система

Формулата за периода на колебание на това махало ее изведено от холандския учен Хюйгенс (1629-1695). Този съвременник на И. Нютон беше много доволен от тази механична система. През 1656 г. той създава първия часовник с механизъм на махалото. Те измерват времето с изключителна точност за онези времена. Това изобретение стана важен етап в развитието на физически експерименти и практически дейности.

Ако махалото е в равновесно положение(окачен вертикално), тогава силата на гравитацията ще бъде балансирана от напрежението на нишката. Плоско махало на неразтегляща се резба е система с две степени на свобода с връзка. Когато сменяте само един компонент, характеристиките на всичките му части се променят. Така че, ако нишката е заменена с пръчка, тогава тази механична система ще има само една степен на свобода. Какви са свойствата на математическото махало? Хаосът възниква в тази най-проста система под влияние на периодично смущение. В случай, когато точката на окачване не се движи, но се колебае, на махалото се появява ново равновесно положение. С бързи колебания нагоре и надолу тази механична система придобива стабилна позиция "с главата надолу". Също така има свое собствено име. Нарича се махалото на Капитана.

Свойства на махалото

Математическото махало е много интересносвойства. Всички те се потвърждават от известни физически закони. Периодът на колебание на всяко друго махало зависи от различни обстоятелства, като например размерът и формата на тялото, разстоянието между точката на окачване и центъра на тежестта и разпределението на масата по отношение на дадена точка. Ето защо определянето на периода на висящото тяло е доста предизвикателство. Много по-лесно е да се изчисли периодът на математическо махало, чиято формула ще бъде дадена по-долу. В резултат на наблюденията на такива механични системи е възможно да се установят такива закономерности:

• Ако, запазвайки една и съща дължина на махалото,спиране на различни товари, тогава периодът на техните колебания ще бъде същият, въпреки че техните маси ще се различават значително. Следователно периодът на такова махало не зависи от масата на товара.

• Ако завъртите махалотоне твърде големи, но различни ъгли, тя ще започне да се движи със същия период, но в различни амплитуди. Докато отклоненията от центъра на равновесието не са прекалено големи, колебанията в тяхната форма ще са доста близки до хармоничните. Периодът на такова махало не зависи от вибрационната амплитуда. Това свойство на тази механична система се нарича изохронизъм (в превод от гръцки "хроно" - време, "isos" - равен).

Период на математическото махало

Този индикатор представлява периодаестествени колебания. Въпреки сложната формулировка, самият процес е много прост. Ако дължината на нишката на математическо махало L и ускорението на гравитацията g, тогава тази стойност е равна на:

Т = 2π / L

Периодът на малки естествени трептения не зависи от никоя мярка за масата на махалото и амплитудата на трептенията. В този случай махалото се движи като математическо махало с дадена дължина.

Колебание на математическо махало

Математическото махало осцилира, което може да се опише чрез просто диференциално уравнение:

x + ω2 sin x = 0,

където x (t) е неизвестна функция (това е ъгълътотклонение от долната равновесна позиция по време t, изразено в радиани); ω е положителна константа, определена от параметрите на махалото (ω = √g / L, където g е ускорението, дължащо се на гравитацията, L е дължината на махалото.

Уравнението на малки колебания близо до равновесното положение (хармоничното уравнение) изглежда така:

x + ω2 sin x = 0

Осцилаторно движение на махалото

Математическо махало, което се отнася малкоколебание, се движи на синусоида. Диференциалното уравнение от втори ред отговаря на всички изисквания и параметри на такова движение. За да определите траекторията, трябва да определите скоростта и координата, от които след това се определят независими константи:

х = A грях (θ₀ + ωt),

където θ₀ - начална фаза, А - амплитуда на вибрациите, ω - циклична честота, определена от уравнението на движение.

Математическо махало (формули за големи амплитуди)

Тази механична система, която осцилира със значителна амплитуда, се подчинява на по-сложни закони на движение. За такова махало те се изчисляват по формулата:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

където sn е сак на Якоби, което за u <1 е периодична функция, а за малка u съвпада с проста тригонометрична синус. Стойността на u се определя от следния израз:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

където ε = E / mL2 (mL2 е енергията на махалото).

Определянето на периода на колебание на нелинейно махало се извършва съгласно формулата:

T = 2π / Ω,

където Ω = π / 2 * ω / 2K (u), К е елиптичен интеграл, π - 3,14.

Движение на махалото по сепаратора

Разделичката е траектория на динамикав която двуизмерното фазово пространство. Математическото махало се движи по него не периодично. В безкрайно далечен период от време той пада от крайната горна позиция към страната при нулева скорост, след което постепенно я вдига. В крайна сметка той спира, връщайки се в първоначалната си позиция.

Ако амплитудата на колебание на махалото се доближава до броя π, това показва, че движението на фазатаравнината се приближава към отделенията. В този случай, под въздействието на малка периодична сила, механичната система проявява хаотично поведение.

Когато математическото махало се отклонява отпозицията на равновесие с някакъв ъгъл φ има тангенс на тежестта Fτ = -mg sin φ. Знакът минус означава, че този тангенциален компонент е насочен към противоположната страна от отклонението на махалото. Ако означаваме изместването на махалото през х по дъга на окръжност с радиус L, ъгловото му отместване е равно на φ = x / L. Вторият закон на Исак Нютон, предназначен за проекциите на вектора на ускорение и сила, ще даде желаната стойност:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Въз основа на тази връзка е ясно, че товаМахалото е нелинейна система, тъй като силата, която има тенденция да я върне в равновесно положение, винаги е пропорционална на изменението x, но греха x / L.

Само когато математическото махалоизпълнява малки колебания, това е хармоничен осцилатор. С други думи, тя става механична система, способна да извършва хармонични трептения. Това приближение е практически валидно за ъгли от 15-20 °. Ударенията на махалото с големи амплитуди не са хармонични.

Законът на Нютон за малки колебания на махалото

Ако тази механична система извършва малки колебания, 2-ият закон на Нютон ще изглежда така:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Въз основа на това можем да заключим товатангенциалното ускорение на математическото махало е пропорционално на изместването му със знак минус. Това е условието, при което системата става хармоничен осцилатор. Модулът на коефициента на пропорционалност между изместването и ускорението е равен на квадрата на кръговата честота:

о02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Тази формула отразява естествената честота на малки колебания на този тип махало. Въз основа на това,

T = 2π / ω0 = 2π√г / Л.

Изчисления, базирани на закона за енергоспестяване

Свойствата на осцилаторните движения на махалото могат да бъдат описани и като се използва законът за опазване на енергията. Трябва да се има предвид, че потенциалната енергия на махалото в полето на тежестта е:

E = mgAh = mgL (1 - cos α) = mg L2sin2 α / 2

Общата механична енергия е равна на кинетичния или максималния потенциал: Epmax = Ekmsx = E

След като е написан законът за опазване на енергията, вземете деривацията на дясната и лявата страна на уравнението:

Ep + Ek = const

Тъй като производното на постоянните стойности е 0, тогава (Ep + Ek) "= 0. Производството на сумата е равно на сумата от дериватите:

Еп "= (mg / L * х2 / 2)" = mg / 2L * 2х * х "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2v * v "= mv * a,

Ето защо:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m a) = 0.

Въз основа на последната формула ние откриваме: α = - g / L * x.

Практическо приложение на математическото махало

Ускорението на свободното падане варира сгеографска ширина, тъй като гъстотата на земната кора не е еднаква по цялата планета. Където има скали с по-голяма плътност, тя ще бъде малко по-висока. Ускорението на математическото махало често се използва за геоложко проучване. Те търсят различни минерали. Просто броите броя на колебанията на махалото, можете да намерите въглища или руда в дълбините на Земята. Това се дължи на факта, че такива минерали имат плътност и маса повече от свободните скали, които лежат под тях.

Математическото махало се радваше на таковаизтъкнати учени като Сократ, Аристотел, Платон, Плутарх, Архимед. Много от тях вярваха, че тази механична система може да повлияе на съдбата и живота на човек. Архимед използва математическото махало в своите изчисления. Днес много окултисти и психолози използват тази механична система, за да изпълнят своите пророчества или да търсят изчезнали хора.

Известен френски астроном иНатуралистът К. Фламарион също използва математическото махало за своето изследване. Той твърди, че с негова помощ той е могъл да предскаже откриването на нова планета, появата на медуорите на Тунгуска и други важни събития. По време на Втората световна война в Германия (Берлин), специализираният Институт за махала работи. Днес Мюнхенският институт по парапсихология се занимава със сходни изследвания. Служителите на тази институция наричат ​​работата си с махалото "радиотезия".